ナイキスト線図 書き方 安定判別 位相余裕 ゲイン余裕

ナイキスト線図 書き方

ナイキスト線図 書き方 s=jω 実部 虚部

ナイキスト線図は、伝達関数G(s)（実務では一巡伝達関数）に対して、s=jωと置いた周波数伝達関数G(jω)を複素平面（実部Re、虚部Im）にプロットして得られる軌跡です。
つまり「横軸がRe(G(jω))、縦軸がIm(G(jω))、点はωに応じて動く」という図で、ωを0→∞（必要に応じて-∞→∞）まで動かしたときの軌跡を追います。
建築設備やプラントの制御（ポンプ、ファン、温調、圧力制御）でも、制御対象を2次遅れ＋むだ時間のように近似したり、現場試験で周波数応答を取ったりすることがあり、そのとき「ボード線図だけだと直感が湧きにくい」局面でナイキスト線図が効きます（特に-1点との距離感）。

参考）ナイキストの安定判別法とは？ナイキスト線図の書き方と利点を解…
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書き方の最小手順は次の通りです。

• ① 対象を決める：閉ループではなく開ループ（＝一巡）を使うのが基本です。
• ② s=jωを代入してG(jω)を得る（複素数）。
• ③ Re(G(jω))とIm(G(jω))をωごとに計算し、複素平面へ点を打つ。
• ④ ωが増える方向の矢印を付け、軌跡を滑らかにつなぐ（方向が判別の核心になります）。

ここで手計算のコツは、「まずReとImの式まで落としてしまう」ことです。資料でも、直交座標（Re/Im）で変形して座標を出す流れが示されています。

参考）https://www.ecei.tohoku.ac.jp/hariyama/lecture/control/control-07.pdf
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極座標（ゲイン|G|と位相θ）で描く方法もありますが、最初はRe/Imで実軸交点や原点収束を押さえる方が安全です。
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ナイキスト線図 書き方 安定判別 -1 点 回転数

ナイキストの安定判別の要点は、ナイキスト軌跡が点（-1,0）のまわりを何回回るか（回転数N）と、開ループの不安定極の数Πから、閉ループの不安定極数Zを求める、という枠組みです。
手順として「(-1,0)のまわりの回り込みを数える」「開ループの不安定極を数える」「Z=N+Πで閉ループの不安定極数を出す」が整理されています。
一方、授業資料の簡略化された説明では、開ループに右半平面極がない等の条件下で、ωが0→+∞の軌跡が(-1,0)を左に見るか右に見るかで安定・不安定を判定する整理も出てきます。
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この「左に見る／右に見る」は、現場で図が多少荒くても判断軸になりやすい反面、矢印方向（ω増加方向）を間違えると結論が反転するので要注意です。
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安定判別でミスが出やすいポイントを、チェックリストに落とします。

• 矢印（ωが増える向き）を必ず入れる：回転数を数えるための前提です。
• 「上下反転した軌跡」を足す扱い：ナイキスト線図の作り方として、実軸に対してひっくり返した軌跡を追加する説明があります（矢印向きも反転）。
• 開ループの極が右半平面にある場合：簡易版ではなく拡張条件（Πを数える）が必要になります。

建築の現場目線で言うと、例えば制御盤側の設定変更でゲインが上がった、バルブ特性が変わった、センサフィルタを強めた、などは「軌跡全体の形」より先に「(-1,0)に近づいたか／跨いだか」を見に行く方が早いです。
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このとき、(-1,0)付近の読み取りが曖昧なら、次のセクションの“余裕”で安全側に判断できるようにしておくのが実務的です。
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ナイキスト線図 書き方 位相余裕 ゲイン余裕

ナイキスト線図は「安定か不安定か」だけでなく、「どの程度余裕があるか（安定度）」を読む用途が強い、と資料でも明確に述べられています。
その代表がゲイン余裕（GM）と位相余裕（PM）で、ゲインや位相がどれだけ変動すると(-1,0)に触れるか、という感覚に直結します。
ゲイン余裕は、ナイキスト線図が実軸と交差する点（位相が-180°相当の条件）での大きさを使って定義する説明があり、実軸交点の「原点からの距離（=|G|）」が1より小さいほど安定度が高い、という見方が示されています。
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資料ではGMをdBで表す定義式も提示され、交点の|G|から「何dB増やすと限界か」を評価します。
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位相余裕は、|G(jω)|=1となる周波数（ゲイン交差周波数ωc）での位相から求める流れが、直交座標表現を用いた手順として示されています。
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図としては「単位円と軌跡が交差する角度」を見に行くイメージになり、(-1,0)から離れているほど余裕がある、という直感につながります。
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実務でありがちな“余裕の読み違い”を、あえて具体化します。

• ナイキスト線図の実軸交点を「一番左の点」と勘違いする：実軸交点はIm=0の点であり、左端点とは一致しない場合があります。
• 単位円（|G|=1）との交点が複数ある系：ωcが複数あるとPMは最小余裕側で見るのが安全です（図の交点を取り違えない）。
• 位相の定義（-180°基準）の取り方：ATAN2などの計算では象限判定を誤ると位相が飛ぶため、位相の連続性（unwrap）が重要になります。

参考リンク（位相の飛びをExcelで補正する箇所の参考）。
位相のオフセット（unwrap）をIFとSIGNで補正する具体例（Excel）
https://miscellaneous.tokyo/blog/nyquist-diagram/

ナイキスト線図 書き方 周波数応答 直交座標 端点

ナイキスト線図を“それっぽく描けた”のに誤判定する典型は、端点（ω→0、ω→∞）と実軸交点（Im=0）の押さえが曖昧なケースです。
資料の例でも、ω=0、ω=∞、さらに実軸と交わるω（Im=0となるω）を計算し、座標を確定してから概形を描く手順が示されています。
端点の見方を、実務向けに短く整理します。

• ω→0：定常成分の挙動に対応し、積分要素があると発散的に遠くへ行く（図のスタートが極端になる）。
• ω→∞：厳密にプロパーな系では原点に収束しやすく、図の“終着点”の確認ができます。
• 実軸交点：Im=0の周波数は、ゲイン余裕や-180°付近の議論の基点になりやすいです。

周波数応答のデータ起点で描ける点も、実務での大きな利点として説明されています（伝達関数が完全に分からなくても描ける）。
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建築設備だと、モデルのパラメータが温度帯や流量域で動くことがあるため、「代表点のモデル」だけで断定せず、いくつかの運転点で周波数応答を見比べる、という運用が安全側です。
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ナイキスト線図 書き方 独自視点 現場 施工 調整

独自視点として、建築の“施工・調整フェーズ”でナイキスト線図を使う場面を、制御理論の言葉から一段落として解釈します。
たとえば試運転時、ボード線図の設定画面（制御器のパラメータ画面）だけ見ていると「ゲインを少し下げれば良さそう」「フィルタを少し強めれば良さそう」と場当たりになりがちですが、ナイキスト線図で(-1,0)近傍の“危険エリア”を意識できると、調整の判断が一段安定します。
具体的には、次のように“現場の変化”をナイキスト線図の変形として捉えると、トラブルの切り分けが速くなります。

• センサフィルタを強くする：位相遅れが増え、軌跡が(-1,0)へ近づきやすい（PMを削りやすい）。
• ゲインを上げる：軌跡全体が拡大し、実軸交点で(-1,0)に触れやすくなる（GMが減りやすい）。
• 配管・ダクトの条件変化（負荷変動）：共振や遅れが変わり、軌跡が“ふくらむ”方向に動くことがあるため、試運転時の運転点差が効きます。

さらに意外に効くのが、「図を描く前に、(-1,0)の近傍を拡大して考える」習慣です。ナイキストの安定判別法は(-1,0)の回り込みを数える枠組みで整理されているため、図の大半が見やすくても(-1,0)付近が粗いと判定の信頼性が落ちます。
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設計段階では余裕の目安が示されており、目標値追従のような用途ではGMやPMに一定の目標レンジを置く考え方も紹介されています（用途別に余裕を“数値で持つ”のが現場では特に効きます）。
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参考リンク（大学講義資料：s=jω、直交座標での描き方、GM/PMの定義と目安）。
ナイキスト線図の描き方（s=jω）と安定判別、ゲイン余裕・位相余裕の説明
https://www.ecei.tohoku.ac.jp/hariyama/lecture/control/control-07.pdf