計画法 数学と線形計画と制約条件

計画法 数学

計画法 数学の目的関数と制約条件の考え方

建築の「計画」は、経験や勘だけでも進められますが、関係者が増えるほど説明の一貫性が求められます。そこで役立つのが計画法（数理計画）で、ざっくり言うと「数学を使って計画を立てる」ための枠組みです。数理計画は広い意味では最適化問題で、変数の取り方と評価尺度（どれが良いかの物差し）を明確にして“最も良い解”を求めます。
このとき中心になる言葉が、目的関数と制約条件です。目的関数は「最小（または最大）にしたい値」で、例えば工期の最小化、コストの最小化、歩留まりの最大化などです。制約条件は「守らなければならない条件」で、例えば人員上限、作業可能時間、材料在庫、法規、騒音規制、搬入可能時間帯などが入ります。数理計画の基本定義として、実行可能集合（制約条件を満たす解の集合）と、その中で目的関数を最小化/最大化する最適解が登場します。これは研究者向けの最適化解説でも、変数・目的関数・制約の三点セットとして整理されています。
建築従事者の視点で重要なのは、「目的関数＝会社や施主が得たい価値」「制約条件＝現場や法規が許す範囲」と言い換えられる点です。目的関数が曖昧なまま進むと、途中で“評価基準”が変わって手戻りが発生しやすくなります。逆に制約条件が曖昧だと、後から「それは現場的に無理」「法的に不可」が発生しやすい。計画法 数学は、ここを最初に切り分けることで、計画の衝突点を先に見える化します。
参考リンク（目的関数・制約・線形計画/凸2次計画など最適化の基本概念の整理）
https://research.nii.ac.jp/~uno/opt_1.htm

計画法 数学の線形計画と標準形の整理

計画法 数学の中でも、最初に学びやすく現場にも持ち込みやすいのが線形計画（線形計画問題）です。線形計画は、目的が一次関数（線形関数）の最小化/最大化で、制約条件も一次の不等式（または等式）で表されるものを指します。例えば「利益＝製品A×単価＋製品B×単価」を最大化しつつ、材料や工数の上限を不等式で縛る、といった典型例が教科書的です。
ただし現実の問題は、最大化だったり最小化だったり、不等式が混じったり、変数に非負条件がなかったりで形がバラバラです。ここで出てくる実務上の要点が標準形です。講義資料では、標準形の特徴として「目的は最小化」「制約は等式」「各変数は非負条件あり」に統一し、任意の線形計画問題は標準形に書き換え可能だと整理されています。最大化は目的関数にマイナスを掛けて最小化に直す、不等式はスラック変数（余裕変数）を足して等式にする、非負条件なしの変数は“非負変数の差”で表す、といった変形がその具体です。
建築の文脈でこの「標準形」が効く場面は多いです。例えば工程計画で「遅延リスクを最小化」したいのか「利益を最大化」したいのか、表現は違っても標準形へ寄せれば同じ枠組みで比較できます。さらに、スラック変数は「余裕」を数として持てるので、「この制約（夜間搬入時間、クレーン稼働枠、職長の巡回可能回数など）にどれだけ余裕がないか」を式の中で見える化しやすくなります。これは“現場の勘”を否定するのではなく、勘の中身を関係者に伝える手段になります。
参考リンク（線形計画の定義、標準形への書き換え、スラック変数などの説明がまとまった講義資料）
http://www.dais.is.tohoku.ac.jp/~shioura/teaching/mp11/mp11-02.pdf

計画法 数学の実行可能領域と最適解（頂点）の直感

線形計画を“使える道具”にするには、解がどこに現れるかの直感を持つと早いです。2変数の線形計画は図で描けるため、制約条件を満たす領域（実行可能領域）が凸多角形になり、最適解がその境界、しかも頂点に現れることが確認できます。講義資料でも、実行可能領域は凸多角形で、最適解は境界に位置し、頂点の1つが最適解になる、さらに最適解が複数存在することもある、という性質が図示されています。
建築の計画に置き換えると、「予算」と「工期」のような2軸で語られがちな調整が、実は複数の制約の交点（頂点）として“候補案の集合”に落ちます。例えば、ある頂点は「夜間搬入を最大限使う代わりに人員は最小」かもしれないし、別の頂点は「人員を増やす代わりに日中搬入で成立」かもしれない。線形計画の視点では、最適解は無限に漂うのではなく、制約の交点に“候補として”現れやすいので、案出しと比較の作業が整理されます。
さらに実務で効くのは、「最適解が複数ある」ケースを最初から想定できる点です。図形的には目的関数が辺に平行だと同じ評価値の解が連続します。これを現場の言葉に直すと「どっちでも同じ成績（コスト/工期）なら、施工性が高い方、調達が安定する方、安全が担保できる方を選ぶ」という意思決定が正当化しやすくなります。数学は“決めつける道具”ではなく、“同点の中で何を優先するか”を説明する土台にもなります。

計画法 数学の単体法と基底解（現場での読み替え）

線形計画の代表的な解法に単体法（シンプレックス法）があります。講義資料では、単体法は基底解を繰り返し更新し（ピボット操作）、最適解を求めるアルゴリズムだと説明されています。ここで出てくる「基底解」は、等式がm個・変数がn個の標準形で、n−m個の変数を0に置くと残りが一意に定まる、という構造から生まれる“頂点の候補”です。実行可能な基底解が実行可能領域の頂点に対応し、その中に必ず最適解が存在する、というつながりも資料で整理されています。
建築従事者向けに読み替えるなら、基底解は「多くの選択肢のうち、いくつかをゼロ（やらない/使わない/発注しない）と決めた瞬間に残りが決まる、境界ぎりぎりの計画案」です。例えば、工程短縮の施策を10個並べたとして、そのうち数個を“採用しない（0）”と固定すると、残りの作業配分や稼働が制約に沿って自動的に決まり、1つの案（頂点）になる、というイメージです。単体法は、その案から隣の案へ、より良くなる方向に“乗り換え”続ける手続きと捉えられます。
意外と見落とされがちですが、基底解には「退化（同じ基底解が複数の選び方で得られる）」があり得ることも講義資料で触れられています。現場では、見た目は違う調整（例えば「Aを少し増やす/Bを少し減らす」）をしたつもりでも、制約の張り方次第で“本質的な状態が変わっていない”ことがあります。退化の概念は、「何か動かしたのに改善していない」場面を数学の側から説明でき、チーム内の納得感を作りやすい論点になります。

計画法 数学で扱う「曖昧さ」の設計（独自視点）

検索上位の解説は、線形計画の定義や解法（標準形、単体法、目的関数、制約条件）に寄りがちです。一方、建築の計画で本当に厄介なのは、数式化しにくい曖昧さ（天候、近隣対応、職人の技能差、調達遅れ、承認待ち、仕様変更）です。ここでの独自視点は、「曖昧さをゼロにする」のではなく、「曖昧さを制約条件として“安全側に折り込む”設計」を最初から行うことです。
例えば工期を目的関数にするなら、制約条件側にバッファを持たせるやり方があります。スラック変数（余裕）を“余り”としてではなく、“吸収すべき不確実性の器”として扱う発想です。線形計画は本来、制約を厳密に置きますが、現場では「法的上限」より「運用上の上限」が厳しいことが多いので、運用上の上限を制約条件に採用し、法的上限は最後の安全弁に回す、といった整理ができます。
さらに、目的関数を1つに決めきれないときは、目的関数を“段階”に分けると会議が進みやすくなります。まず「安全・法令順守」を制約条件として固定し、次に「工期」を最小化し、それでも同点が出たら「コスト」を最小化し…というように、優先順位を合意してから数式に落とすと、後出しの価値基準が減ります。これは線形計画そのものの説明ではなく、線形計画を“建築の合意形成”に組み込むための運用設計です。数学は万能ではありませんが、曖昧さの扱い方まで含めて枠組み化すると、会議の争点が「好き嫌い」から「前提と制約」に移り、建築の計画が前に進みやすくなります。