周長同じ面積と正方形長方形の土地活用

周長が同じでも面積が異なる理由

周長が同じでも図形の形状によって面積が変わるという現象は、数学における「等周問題」として古くから研究されてきました。例えば周の長さが26cmの長方形で、縦11cm・横2cmの場合は面積が22平方cm、縦7cm・横6cmの場合は面積が42平方cmとなり、同じ周長でも面積が約2倍も異なります。
参考）https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1035811350
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この現象が起こる理由は、面積の計算式「縦×横」に隠されています。周長を一定とした場合、長方形の縦の長さをxとすると横の長さは(周長÷2-x)となり、面積は$x(周長÷2-x)=-x^2+周長x÷2$x(周長÷2−x)=−x2+周長x÷2という二次関数で表されます。この二次関数は上に凸の放物線を描くため、縦と横の長さが等しい正方形のときに面積が最大値となります。
参考）https://manabitimes.jp/math/1428
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数学的には、周長が一定の図形の中で面積が最大となるのは円であることが「等周定理」として証明されています。古代カルタゴの建国者ディドーの伝説では、牛の皮で囲える範囲の土地を与えられた際、皮を細く切って海岸線に沿って半円状に土地を囲み、最大の面積を確保したという逸話が残されています。
参考）http://ikuro-kotaro.sakura.ne.jp/koramu/henbun.htm
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周長同じ長方形で面積を比較

 

周の長さが24cmで一定の長方形と正方形を比較すると、形状による面積の違いが明確になります。縦2cm・横10cmの細長い長方形では面積が20平方cmにとどまりますが、正方形(一辺6cm)では面積が36平方cmと約1.8倍に増加します。
参考）https://kyoukasyo.com/primary-school/perimeter-and-area-of-a-rectangle/
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周長が一定の長方形において、縦の長さをaとすると面積Sは$S=a(周長÷2-a)$S=a(周長÷2−a)で表されます。この式を平方完成すると$S=-(a-周長÷4)^2+(周長÷4)^2$S=−(a−周長÷4)2+(周長÷4)2となり、$a=周長÷4$a=周長÷4すなわち正方形のときに最大値$(周長÷4)^2$(周長÷4)2を取ることが証明できます。​
実際の数値例として、周長20cmの長方形を考えると以下のような面積変化が観察されます。youtube​​

縦(cm)	横(cm)	面積(平方cm)
1	9	9
3	7	21
4	6	24
5	5	25

この表からも、縦と横が等しい正方形(5cm×5cm)のときに面積が最大となることがわかります。youtube​​

周長同じで面積を最大化する図形

数学の等周問題では、周長が一定の図形の中で面積を最大化するものは円であることが古代ギリシア時代から知られていました。しかし厳密な証明が与えられたのは19世紀になってからで、シュタイナーやシュワルツ、フロベニウスによる複数の証明方法が存在します。
参考）https://www.math.nagoya-u.ac.jp/~hisamoto/notes/isoperimetric.pdf

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周長Lの図形における面積Aには$L^2≧4πA$L2≧4πAという不等式(等周不等式)が成り立ち、等号は円のときのみ成立します。これは、同じ周長の図形の中で円が最も効率よく面積を確保できることを意味しています。​
三角形や四角形などの多角形に限定しても、同様の性質が観察されます。周長が一定の三角形では正三角形が、四角形では正方形が最大面積を持ちます。一般に周長が一定のn角形では正n角形が最大面積となり、nを大きくするほど面積は円に近づいていきます。​
相加相乗平均の不等式を用いた証明も可能で、長方形の場合は縦aと横bに対して$ab≦\{(a+b)÷2\}^2$ab≦{(a+b)÷2}2(等号成立はa=b)という関係から、正方形で面積が最大となることが導かれます。​

周長同じ土地で正方形長方形の価値

不動産業界において、土地の形状は市場価値に直接的な影響を与える重要な要素です。長方形の土地は建物の設計や配置がしやすく、建築効率が良いため施工費用を抑えられるという利点があり、住宅地としての利用価値が高く評価されます。
参考）https://www.sekyuahouse.com/blog/entry-630982/

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正方形に近い土地は、同じ周長(外周長)の細長い土地に比べて面積が大きくなるため、建築可能な延床面積も増加します。例えば周長が同じ40mの土地でも、正方形(10m×10m、面積100平方m)と細長い長方形(15m×5m、面積75平方m)では、面積に25平方mの差が生じます。​
土地評価においては、不整形地(いびつな形状の土地)は正方形や長方形の整形地に比べて利用価値が劣るため、固定資産税評価額が減額される仕組みがあります。建ぺい率や容積率による建築制限も、土地の実質的な面積に依存するため、周長が同じでも形状によって建築可能な建物の規模が変わります。
参考）https://www.ss-j.co.jp/column/917/
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土地の外周フェンスや境界標の設置コストは周長に比例しますが、実際に活用できる面積は形状によって大きく異なるため、正方形に近い土地ほど投資効率が高くなります。
参考）https://iqrafudosan.com/channel/land-boundary
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周長同じでも面積が違う数学的証明

周長が一定の長方形で面積が最大となるのは正方形であることを、微分を用いて証明することができます。周長を2Lとし、縦の長さをxとすると横の長さは(L-x)となり、面積S(x)は$S(x)=x(L-x)=Lx-x^2$S(x)=x(L−x)=Lx−x2と表されます。​
この面積関数を微分すると$S'(x)=L-2x$S′(x)=L−2xとなり、$S'(x)=0$S′(x)=0を解くと$x=L÷2$x=L÷2が得られます。二階微分$S''(x)=-2<0$S′′(x)=−2<0より、この点で面積が最大値となることが確認でき、このとき縦も横も$L÷2$L÷2の正方形となります。​
相加相乗平均の不等式を用いた別の証明方法もあります。縦a、横bの長方形で周長が2Lのとき、$a+b=L$a+b=Lという制約条件の下で、$ab≦\{(a+b)÷2\}^2=(L÷2)^2$ab≦{(a+b)÷2}2=(L÷2)2が成り立ち、等号成立条件は$a=b=L÷2$a=b=L÷2すなわち正方形です。​
三角形の場合は、ヘロンの公式を用いて証明が可能です。周長2Lの三角形の3辺をa、b、cとすると、面積は$S=\sqrt{L(L-a)(L-b)(L-c)}$S=L(L−a)(L−b)(L−c)となります。相加相乗平均の不等式より$(L-a)(L-b)(L-c)≦\{(L-a)+(L-b)+(L-c)\}^3÷27=(L÷3)^3$(L−a)(L−b)(L−c)≦{(L−a)+(L−b)+(L−c)}3÷27=(L÷3)3が成り立ち、等号成立は$a=b=c=2L÷3$a=b=c=2L÷3すなわち正三角形のときです。​

周長と面積の関係を建築業で活かす方法

建築業界において、周長と面積の関係を理解することは、土地の有効活用やコスト最適化に直結します。同じ面積の土地でも形状によって建ぺい率や容積率の制約下で建築できる建物の規模が変わるため、土地選定段階での形状評価が重要です。
参考）https://www.ss-j.co.jp/column/1022/

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外壁工事のコスト計算では、建物の外周長に施工面積が依存します。例えば外周が38m(10m+10m+9m+9m)で高さ6mの建物の場合、外壁面積は228平方mとなります。同じ延床面積でも建物を正方形に近い平面にすることで外周長を短縮でき、外壁や基礎工事のコストを削減できます。
参考）https://question.realestate.yahoo.co.jp/knowledge/chiebukuro/detail/1330629543/
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不整形地の活用においては、その独特な形状を活かした創意工夫が求められます。三角形の土地は道路に面する部分が多いため視認性が高く、商業施設や店舗に適している場合があります。ただし不整形の度合いが大きいと建築設計の自由度が制限され、施工コストが増加する可能性があるため、購入前の慎重な検討が必要です。
参考）https://shinnichi.co.jp/info/f_tochi/
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建築基準法における床面積の算定では、バルコニーや出窓などの不算入部分を適切に活用することで、限られた土地面積を最大限に活かすことができます。正方形に近い整形地は設計プランの自由度が高く、施主の多様な要望に対応しやすいという利点もあります。
参考）https://saikenchikufuka-kaitori.com/column/%E5%BB%BA%E7%AF%89%E5%9F%BA%E6%BA%96%E6%B3%95%E3%81%AB%E3%81%8A%E3%81%91%E3%82%8B%E5%BA%8A%E9%9D%A2%E7%A9%8D%E3%81%A8%E3%81%AF%EF%BC%9F%E4%B8%8D%E7%AE%97%E5%85%A5%E3%81%A8%E3%81%AA%E3%82%8B%E9%83%A8/
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敷地境界の確定や地積測量においても、土地の形状は重要な要素となります。境界標の位置を正確に把握し、実際の土地面積を確定することで、適正な土地評価と売買代金の算定が可能になります。​
不動産市場における土地評価では、形状による補正率が適用されます。不整形地は整形地に比べて利用価値が劣るとされ、その度合いに応じて評価額が減額されます。一方で、都市部では不整形地であっても立地条件次第で高い利用価値を持つケースもあり、土地形状と立地を総合的に判断することが求められます。
参考）https://www.gift-for.net/tochikatuyou/1979/
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参考情報として、国土交通省や不動産関連団体が提供する土地評価ガイドラインや建築基準法の詳細については、専門家への相談をお勧めします。

 

等周問題に関連する高校数学の問題 - 高校数学の美しい物語
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