座標法 面積計算 公式 と 多角形 座標

座標法 面積計算 公式

座標法 面積計算 公式の基本（靴紐公式・ガウスの面積公式）

座標法は、多角形の各頂点の座標（X, Y）を使い、四則演算の総和だけで面積を出せる求積アルゴリズムです。測量の用語としても使われ、「靴紐公式（Shoelace formula）」「ガウスの面積公式」とも呼ばれます。自己交差しない多角形を前提に、頂点を順番に並べて計算します。
最もよく使う形は、次の「交差積の総和」を使う式です。

・面積 S ＝ 1/2 ×｜Σ（Xi×Yi+1 − Xi+1×Yi）｜
ここで、最後の点の次は最初の点に戻して（Xn+1, Yn+1）＝（X1, Y1）として計算します。反時計回りに点列を並べると総和が正になり、時計回りだと負になるため、実務では絶対値を取って面積を正にします。

実務での感覚としては「隣り合う点どうしの（X×Y）の組み合わせを交互に足し引きし、最後に2で割る」だけです。計算機に向いていて、座標が揃っていれば図形が少し複雑でも同じ手順で処理できます。

参考：座標法の定義、別名（靴紐公式・ガウスの面積公式）、順序（時計回り／反時計回り）と符号の扱い
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BA%A7%E6%A8%99%E6%B3%95

座標法 面積計算 公式の手順（座標値・多角形・順番）

現場で一番多い事故は「公式自体」ではなく「点の順番」と「転記ミス」です。そこで、座標法を作業手順として固定すると安定します。
手順（紙でもExcelでも同じ）
✅ 1) 多角形の頂点を一周する順番で並べる（時計回り or 反時計回りのどちらかに統一）
✅ 2) 最後に最初の点をもう一度書いて閉じる（n+1行目に1行目をコピー）
✅ 3) 各行で「Xi×Yi+1」と「Yi×Xi+1」を作る
✅ 4) Σ（Xi×Yi+1）− Σ（Yi×Xi+1）を取る（または行ごとに差を出して合計）
✅ 5) 絶対値を取り、最後に2で割る
さらに、測量の解説では「台形の足し引き」として説明されることが多く、(Yi+Yi+1)×(Xi−Xi+1)÷2 を辺ごとに足し合わせていく導き方も使われます。台形法で理解しておくと、符号（＋/−）の意味が腹落ちしやすく、結果に違和感が出たときに原因を追いやすいです。

参考：座標求積法を台形面積で分解して説明（符号の扱い、順番の固定、一般化）
http://hokushin-sv.co.jp/column/zahyoukyuseki.pdf

座標法 面積計算 公式の符号（時計回り・反時計回り・倍面積）

座標法を実務に落とすなら、「符号」は単なる数学の話ではなく、ミス検出の強力なセンサーです。点列が反時計回りなら総和が正、時計回りなら負になる性質があり、ここが崩れると「順番が一周していない」「点が入れ替わった」「自己交差に近い並び」などの疑いが出ます。
実務メモ（符号まわりのコツ）

• 「絶対値を取れば面積は出る」けれど、絶対値で全部を丸める前に、符号の正負を一度は確認する。
• 倍面積（2S）という言い方を知っておくと便利です。計算途中の総和が「面積の2倍」になっているので、まず 2S を出してから最後に÷2する流れにすると、検算や途中チェックがしやすいです。
• 時計回り／反時計回りが混在すると、辺ごとの寄与が相殺されておかしな値になりやすいです（特に途中で点を差し替えたときに起きがち）。

また「反時計回りなら絶対値が不要」という性質は、プログラムや表計算の自動化でも有利です。例えば「入力は反時計回りに統一」というルールを先に決めておけば、絶対値が必要なケース（順番が逆）を例外として検出できます。

座標法 面積計算 公式の実務（求積図・敷地・CAD/Excel）

建築従事者の実務では、座標法は「敷地面積」「求積図」「境界点座標リスト」と直結します。特に確認申請や面積根拠の整理では、座標→面積の計算過程が説明できると、後工程（社内チェック、施主説明、外部審査対応）で強くなります。
Excel運用のコツ（人がチェックしやすい形）

• 列を固定：A列=点名、B列=X、C列=Y、D列=次点X、E列=次点Y、F列=Xi×Yi+1、G列=Yi×Xi+1、H列=差（F−G）。
• 最終行で「1点目をコピーして閉じる」を明示（ここを手作業にすると事故が起きるので、テンプレ化推奨）。
• 途中で「2S（倍面積）」を表示して、最後に「S=ABS(2S)/2」を表示。

CAD（座標プロット）と相性が良いのも座標法の利点です。座標点列がそのままポリライン化できれば、図形は視覚で確認でき、面積は座標法で数値根拠を持てます。図形が細長い・折れが多いなど、三角分割だとミスが増える形ほど、座標法のメリットが出ます。

注意点として、座標の単位系（mとmmの混在）や座標系の取り扱い（平面直角座標系の系番号、ローカル座標）をチーム内で統一しないと、面積が桁違いになります。ここは公式の問題ではなく運用ルールの問題なので、チェック項目として先に固定しておくのが安全です。

座標法 面積計算 公式の独自視点（グリーンの定理・誤差の入り方）

検索上位の多くは「計算式と手順」で止まりますが、現場で“意外に効く”のは「なぜ座標法は誤差が入りにくいのか」という見立てです。座標法は基本的に座標値の四則演算だけで面積が決まり、三辺法・三斜法のように角度や距離から三角形を再構成する過程が少ないため、計算処理の段階で新しい誤差要因が混入しにくい、と説明されます。
さらに、座標法の式は連続体の視点では「グリーンの定理」の特別な場合として捉えられ、境界（多角形の周）を一周する情報から面積が復元される、という構造を持ちます。ここを押さえると、次の実務判断がしやすくなります。

• 点列が“一周”になっていない（途中で飛ぶ/戻る）と破綻する理由が直感的に分かる。
• 自己交差を含む並び（8の字のような形）で、面積の「足し引き」が起きるのが理解できる。
• 符号付き面積（向きによって正負が出る）を残すと、データ品質チェック（順序の反転検知）に使える。

誤差の話をもう一歩だけ実務寄りにすると、「座標がミリ単位で高精度になるほど、手計算より表計算・プログラムで処理した方が転記事故が減る」という側面があります。つまり、精度が上がった現場ほど“人間の転記ミス”が相対的に支配的になるので、座標法をテンプレ化し、順序・閉じ・単位の3点を機械的に検査する運用が効きます。

参考：座標法の式展開、順序と符号、グリーンの定理との関係（理屈の裏付け）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BA%A7%E6%A8%99%E6%B3%95