弧の長さ 計算 中心角 半径 扇形

弧の長さ 計算

弧の長さ 計算の公式と中心角

弧の長さ 計算の基本は、「円周の一部を切り取った長さ」と捉えることです。半径rの円の円周は 2πr なので、中心角x°の扇形なら、弧の長さlは「360°に対する割合」を掛けて、l＝2πr×(x/360) で求まります。これは「半径が同じなら弧の長さは中心角に比例する」という性質を式にしたものです。
建築の図面や施工図では、中心角が度（°）で書かれていることが多いので、まずはこの度数法の式を“標準形”として頭に入れておくと、手計算のスピードが上がります。例えば中心角が120°なら、円周の1/3なので、弧長は 2πr×1/3 となり、概算も即座にできます。現場では概算ができるだけで、入力ミスや桁ミスの早期発見につながります。

参考）おうぎ形の弧の長さと面積_1｜中学数学の教え方・考え方　塾講…
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また、扇形の「周の長さ」を求める問題と混同しないことも重要です。周の長さは弧の長さに加えて半径の直線部分が2本あるため、弧長lに 2r を足したものになります。見積・加工長を出すときに「弧長だけで良いのか」「周長なのか」が曖昧だと材料取りがズレます。
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弧の長さ 計算で半径とラジアン

弧の長さ 計算は、中心角がラジアンで与えられると一気にシンプルになり、l＝rθ（θはラジアン）で求められます。度数法の 2πr×(x/360) を整理すると r×(xπ/180) となるため、θ＝xπ/180 と置けば同じ意味だと分かります。つまり「ラジアンは角度の単位を変えて、式を短くしたもの」と理解すると混乱が減ります。
建築従事者の実務だと「ラジアン」は普段の図面では前面に出ませんが、BIM・3D・CADの内部計算や、計算サイト・プログラムではラジアンで扱われることがあります。ここで怖いのが、度のつもりでθに数値を入れてしまう誤りです。例えばθ＝90と入れてしまうと、90ラジアンは度に直すと約5157°相当になり、弧長がとんでもない値になります（電卓のモードと単位の確認が必須）。

参考）扇形の弧の長さは？1分でわかる求め方、公式、面積、ラジアンと…
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ラジアンが効く場面は「中心角がπを含む形で出る」場合です。たとえば θ＝π/5 のように与えられたら、l＝rθで即決でき、πのまま保持して誤差を抑えられます。精度が欲しいときほど、途中で3.14に丸めない方が安定します。
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弧の長さ 計算と弦長と矢高

弧の長さ 計算は、中心角が不明でも「弦長d」と「矢高h」が分かれば進められます。現場では、円弧の両端間の直線距離（弦長）や、弦の中点から円弧までの高さ（矢高）を取りやすいので、この2つから半径や弧長を逆算する発想が強いです。実際、弧長L、弦長d、矢高h、半径rのうち2つを与えると残りと中心角まで計算できる、という整理が使われています。
具体的な関係式として、L＝r×θ、d＝2r×sin(θ/2)、h＝r×(1−cos(θ/2)) が使われます。これらは「弦の両端と中心が作る二等辺三角形」を起点にした幾何で、弦長と矢高があれば中心角θの推定ができる、という立て付けです。手計算で全部やるのは重いので、入力だけで返してくれる計算ツールの出番になります。

参考）【中1数学】おうぎ形の面積・弧の長さ・中心角の求め方がサクッ…
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ここでの注意点は、弦長と弧長を混同しないことです。弦長は直線、弧長は曲線なので、同じ両端を結んでも弧長の方が必ず長くなります。測定値の入力欄を取り違えると、計算結果が「それっぽいけど違う」値になり、気づきにくいのが厄介です。

参考）弧の長さと弦の長さの求め方、円周角との関係など - 具体例で…
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また、矢高を測るときは、弦長の中点から“弦に直角”方向で取るのが原則です。レーザーや下げ振りで直角を作ると、誤差が体系的に減ります。現場の測り方のクセ（斜めに当ててしまう等）が、最終的な弧長の狂いとして現れます。

参考）Rの墨出し方法（円、円弧の墨出し） - 軽天大好きブログ
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参考：弧長・弦長・矢高・半径・中心角を相互に計算できる式の整理と計算法（L=rθ 等）が書かれています
https://keisan.casio.jp/exec/user/1329041462

弧の長さ 計算と墨出し

弧の長さ 計算が建築で役に立つのは、最終的には「墨出しで円弧を再現する」場面です。小さめのRなら、中心点から半径でコンパスのように描けますが、大きなRはそのまま描けないため、円を分割して点を取り、直線をつないで“円弧に近づける”方法が紹介されています。分割を進めると、4方向→8方向→16方向…のように点が増え、曲線の再現性が上がります。
このとき鍵になるのが、弧長や弦長、矢高を使って「次の分割点」を決めていくことです。弦長を二等分した位置から直角に矢高を出す、といった取り方を繰り返すことで、現場でも比較的安定して円弧のラインを作れます。つまり、弧の長さ 計算は机上の数学ではなく、点出しの設計図にもなります。

参考）中学校1年生数学-おうぎ型（中心角の求め方）
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さらに実務では、仕上げ厚や下地厚によって“同じ中心でもRが変わる”ことがあります。例えば仕上がり面のRを描くのか、LGSやランナーの位置で描くのかで、オフセット分だけ半径が変わります。R壁のような納まりでは「どの面のRか」を最初に固定し、そこから控え（引き算）するのが安全です。
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参考：円弧（R）の墨出しを、分割・弦長・矢高の考え方で具体的に進める手順が書かれています
Rの墨出し方法（円、円弧の墨出し） - 軽天大好きブログ

弧の長さ 計算の独自視点（検算）

弧の長さ 計算で意外と効くのが、計算結果を“物理の直感”で検算する習慣です。度数法の式 l＝2πr×(x/360) は、xが2倍ならlも2倍、という単純な比例なので、入力した中心角の大きさと結果の釣り合いを見るだけでミスが見抜けます。たとえば中心角が30°なら、弧長は円周の1/12程度で、半円（180°）の1/6になるはずです。
もう一つの検算は「上限と下限」を置くやり方です。中心角が0°に近いなら弧長は0に近く、中心角が360°なら弧長は円周2πrに一致します。計算結果がこの範囲を外れたら、単位（度/ラジアン）か、中心角の読み取りが間違っている可能性が高いです。
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弦長・矢高から解く場合でも同じで、弧長は弦長より必ず長い、という条件があります。結果が弦長より短く出たら、弦長と弧長の入力欄を取り違えた、矢高の向きが違う、など原因が絞れます。現場は再計測のコストが高いので、計算段階で“壊れた値”を弾ける仕組みを持つのが結局一番速いです。
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日本海の拡大と伊豆弧の衝突 ―神奈川の大地の生い立ち (有隣新書75)